Conjuntos Numéricos - Conjunto dos Números Naturais e Inteiros

Conjuntos   dos números naturais (ℕ).

 Chama-se conjunto dos números naturais — símbolo ℕ — o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... 

ℕ = {0, 1, 2, 3, …}

Nesse conjunto são definidas duas operações fundamentais, a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades: 

[A.1] associativa da adição 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ.

[A.2] comutativa da adição 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 para todos 𝑎, 𝑏, ∈ ℕ.

[A.3] elemento neutro da adição 𝑎 + 0 = 𝑎 para todo 𝑎 ∈ ℕ.

[M.1] associativa da multiplicação 𝑎𝑏 𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ.

[M.2] comutativa da multiplicação 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 para todos 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ.

[M.3] elemento neutro da multiplicação 𝑎 ∙ 1𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ𝑎 para todo 𝑎 ∈ ℕ.

[D] distributiva da multiplicação relativamente à adição 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎c para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ.  

Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados são ampliações de ℕ, isto é, contêm ℕ, têm uma adição e uma multiplicação com as propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente o motivo determinante da ampliação.

 Assim, dado um natural 𝑎 ≠ 0, o simétrico de 𝑎 não existe em ℕ: −𝑎 ∉ ℕ.

 O resultado disso é que o símbolo 𝑎 − 𝑏 não tem significado em ℕ para todos 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, isto é, em ℕ a subtração não é uma operação.

Conjuntos dos números inteiros ( ℤ) :

. Chama-se conjunto dos números inteiros — símbolo ℤ — o seguinte conjunto:

 ℤ = [... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Para todo 𝑎 ∈ ℤ existe −𝑎 ∈ ℤ tal que 

𝑎 + −𝑎 = 0

 Devido à propriedade [A.4], podemos definir em ℤ a operação de subtração, estabelecendo que 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) para todos 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ.

Os números inteiros e a reta

 Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada por meio do seguinte procedimento:

 1º) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem), que representa o inteiro 0 (zero): 

2º) a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitário 𝑢 ≠ 0 cuja extremidade passará a representar o inteiro 1: 

3º) para cada inteiro positivo n, a partir de O, marcamos um segmento de medida 𝒏𝒖 no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos um segmento de medida 𝒏𝒖 no sentido negativo cuja extremidade representará o inteiro −𝑛. 0

 O resultado é este:

Divisibilidade:

Uma importante noção que devemos ter sobre números inteiros é o conceito de divisor. Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b — símbolo 𝑎 | 𝑏 — quando existe um inteiro c tal que 𝑐𝑎 = 𝑏. 

𝑎 | 𝑏 ⇔ (∃ 𝑐 ∈ ℤ; 𝑐 ∙ 𝑎 = 𝑏)

ex: 1º) 2 | 12 pois 6 ∙ 2 = 12 

2º) 3 | − 18 pois −6 ∙ 3 = −18 

3º) −5 | 20 pois −4 ∙ −5 = 20 

4º) 0| 0 pois 1 ∙ 0 = 0

Quando 𝑎 é divisor de 𝑏, dizemos que “𝑏 é divisível por 𝑎” ou “𝑏 é múltiplo de 𝑎”.

Para um inteiro a qualquer, indicamos com 𝐷(𝑎) o conjunto de seus divisores e com 𝑀(𝑎) o conjunto de seus múltiplos.  

ex: 1º) 𝐷 (2) = {1, −1, 2, −2} 

           

       𝑀 (2) = {0, ±2, ±4, ±6, …}

2º) 𝐷 (−3) = {1, −1, 3, −3} 

                𝑀 (−3) = {0, ±3, ±6, ±9, …} 

3º) 𝐷 (0) = ℤ 

               𝑀 (0) = {0} 

Dizemos que um número inteiro p é primo quando:

𝑝 ≠ 0, 1 𝑒 − 1 e 𝐷 (𝑝) = {1, −1, 𝑝, −𝑝}.

ATÉ A PROXIMA COLEGUINHAS! :)

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