Intro. às Funções

Nos exemplos iniciais vamos considerar, por exemplo, os conjuntos 𝐴 = {0, 1, 2, 3} e 𝐵 = {−1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes Introdução às Funções binárias de A em B: 

𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 × 𝐵; 𝑦 + 𝑥 = 1

𝑅 = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)} Para cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴, com exceção do 3, existe um só elemento 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅. Para o elemento 3 ∈ 𝐴, não existe 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (3, 𝑦) ∈ 𝑅.

𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵; y² = x²}

S = {(0, 0), (1, 1), (1, −1), (2, 2), (3, 3)}

Para cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴, com exceção do 1, existe um só elemento 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆. Para o elemento 1 ∈ 𝐴 existem dois elementos de 𝐵, o 1 e o −1, tais que (1, 1) ∈ 𝑆 e (1, −1) ∈ 𝑆. 

ex: 

Definição de função

Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, não vazios, uma relação 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 recebe o nome de aplicação de 𝐴 em 𝐵 ou função definida em 𝐴 com imagens em 𝐵 se, e somente se, para todo 𝑥 ∈ 𝐴 existe um só 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓. 

𝑓 é aplicação de 𝐴 em 𝐵 ⇔ ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∃ 𝑦 ∈ 𝐵; (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓) 

Esquema de flechas

Com o auxílio do esquema de flechas é possível ver as condições que satisfazer uma relação 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 para ser aplicação (ou função).

1ª) É necessário que todo elemento 𝑥 ∈ 𝐴 participe de pelo menos um par (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, isto é, todo elemento de A “deve servir como ponto de partida de flecha”.

2ª) É necessário que cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 participe de apenas um único par (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, isto é, cada elemento de 𝐴 “deve servir como ponto de partida de uma única flecha”. 

Uma relação 𝑓 não é aplicação (ou função) se não satisfizer uma das condições acima, isto é:

1ª) se existir um elemento de 𝐴 do qual não parta flecha alguma ou

2ª) se existir um elemento de 𝐴 do qual partam duas ou mais flechas.

 ex: 

Gráfico cartesiano

Podemos verificar pela representação cartesiana da relação 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 se 𝑓 é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (𝑥, 0), em que 𝑥 ∈ 𝐴, “encontra sempre o gráfico de 𝑓 em um só ponto”.

ex: 1º) A relação 𝑓 de 𝐴 em ℝ, com 

                                                        𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; −1 ≤ 𝑥 ≤ 3},

representada ao lado, é função, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa 𝑥 ∈ 𝐴 “encontra sempre o gráfico de 𝑓 num só ponto”.

ex:  

2º) A relação 𝑓 de 𝐴 em ℝ, representada ao lado, em que 

                                                        𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; −2 ≤ 𝑥 ≤ 2},

ex:

não é função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de 𝑓 em dois pontos.

3º) A relação 𝑓 de 𝐴 em ℝ, representada ao lado, em que 

                                                      𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 4},

ex:

não é função de 𝐴 em ℝ, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (1, 0) não encontra o gráfico de 𝑓.

Observamos que𝑓é função de 𝐵 em ℝ; em que 

𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ; 2 ≤ 𝑥 ≤ 4.

Até a próxima pessoal!! :)

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