NOÇÕES DE LÓGICA - Tautologia, Proposições logicamente falsas, Relação de implicação e de equivalência.

 

Tautologia: Seja t uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ...) mediante o emprego de conectivos (˄ ou ˅) ou de modificador (~) ou de condicionais (→ ou ↔).

Dizemos que t é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando t tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Assim a tabela-verdade de uma tautologia t apresenta só V na coluna de t

É a proposição composta que será sempre verdadeira, independente dos valores lógicos que a compõem.

Proposições logicamente falsas:  Seja  f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ...) mediante o emprego de conectivos (˄ ou ˅) ou de modificador (~) ou de condicionais (→ ou ↔).

Dizemos que f é uma proposição logicamente falsa quando f tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc.

Relação de implicação:

Dadas as proposições p e q, dizemos que “p implica q” quando na tabela de p e q não ocorre VF em nenhuma linha, isto é, quando não temos simultaneamente p verdadeira e q falsa.

Quando p implica q, indicamos p ⇒ q.

observações:

1ª) Notemos que p implica q quando o condicional p → q é verdadeiro.

2ª) Todo teorema é uma implicação da forma hipótese ⇒ tese.

Assim, demonstrar um teorema significa mostrar que não ocorre o caso de a hipótese ser verdadeira e a tese ser falsa. 

ex: a) 2|4 ⇒ 2|4⸱5 b) p é positivo e primo ⇒ mdc (p, p² ) = p

Relação de equivalência:

Dadas as proposições p e q, dizemos que “p é equivalente a q” quando p e q têm tabelas-verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico.

Quando p é equivalente a q, indicamos: p ⇔ q. 

 1ª) Notemos que p equivale a q quando o condicional p ↔ q é verdadeiro. 

2ª) Todo teorema cujo recíproco também é verdadeiro é uma equivalência. hipótese ⇔ tese

 Exemplos:

a) (p → q) ⇔ (~q → ~p)

                                                                       BOM ESTUDO! :)

Referência:

BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Giovanni ; DE SOUZA, Paulo Câmera . Prisma matemática: Conjuntos e Funções. 1. ed. São Paulo: FTD, 2020. v. 1

DE OLIVEIRA, Prof. Me. Mateus Souza. Noções de: Lógica. Noções de Lógica, 2022. Disponível em: https://ava.ifba.edu.br/mod/resource/view.php?id=156346. Acesso em: 13 nov. 2022.