Noções de Teoria de Conjuntos - Conjuntos Iguais, Subconjuntos, Propriedades da Inclusão e Conjunto das Partes

 

Conjuntos iguais:

Dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 são iguais quando todo elemento de 𝐴 pertence a 𝐵 e, reciprocamente, todo elemento de 𝐵 pertence a 𝐴. Em símbolos: 

𝐴 = 𝐵 ⇔ (∀ 𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵)

 Exemplos: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 𝑑, 𝑐, 𝑏, 𝑎}

{1, 3, 5, …} = 

{𝑥; 𝑥 é inteiro, positivo e ímpar}

 𝑥; 2𝑥 + 1 = 5} = {2} 

Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos; portanto:

{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = {𝑑, 𝑐, 𝑏, 𝑎} = {𝑏, 𝑎, 𝑐, 𝑑}

Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo absolutamente inútil, pois, por exemplo: 

{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑑, 𝑑, 𝑑} 

para conferir basta usar a definição. Assim, preferimos sempre a notação mais simples.

. Se 𝐴 não é igual a 𝐵, escrevemos:

𝐴 ≠ 𝐵

 É evidente que 𝐴 é diferente de 𝐵 se existe um elemento de 𝐴 não pertencente a 𝐵 ou existe em 𝐵 um elemento não pertencente a 𝐴.

 Exemplo: {𝑎, 𝑏, 𝑑} ≠ {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}

Subconjuntos:

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. 

Com a notação 𝐴 ⊂ B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”.

O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão. Em símbolos, a definição fica assim:

A ⊂ B ⇔ (∀ 𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) 

 1º) {𝑎, 𝑏} ⊂ {a, b, c, d]

 2º) {a}⊂ {a, b}

                                                                        3º) {a, b} ⊂ {a, b}

                                                                    4º) {x; x é inteiro e par} ⊂ {x;x é inteiro}

Quando 𝐴 ≠ 𝐵, também podemos escrever 𝐵 ⸧ 𝐴, que se lê “B contém A”. 

Com a notação 𝐴 ⊄ B indicamos que “A não está contido em B”, isto é, a negação de 𝐴 ⊂ B. 

É evidente que 𝐴 ⊄ 𝐵 somente se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B. Assim, por exemplo, temos: 

1º) {𝑎, 𝑏, 𝑐} {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}

 2º) {𝑎, 𝑏} ⊄ {𝑐, d, 𝑒}

Propriedades da inclusão 

Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:

1ª) ∅ ⊂ A

2ª) 𝐴 ⊂ 𝐴 (reflexiva)

3ª) (𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐴) = B (antissimétrica)

4ª) (𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐶) ⇒ 𝐴 ⊂ 𝐶 (transitiva) 

A demonstração dessas propriedades é imediata, com exceção da 1ª. 

Conjunto das partes

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A – notação ℘(𝐴) – aquele que é formado por todos os subconjuntos de 𝐴. Em símbolos: 

℘ (𝐴) = {X; X ⊂ A}

Exemplos: 1º) Se 𝐴 = {𝑎}, os elementos de ℘ (𝐴) são ∅ e {𝑎}, isto é:

℘ (𝐴) = {∅, {a}}

ATÉ O PROXIMO POST COLEGA, BOM ESTUDO! :)

Matemática - Toda Matéria (todamateria.com.br)

Noções de lógica (ifba.edu.br)