Noções de Teoria de Conjuntos - Reunião de Conjuntos, Intersecção de Conjuntos, Propriedades, Diferença de Conjuntos, Complementar de B em A

 

 Reunião de Conjuntos 

Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. 

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}

O conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 (lê-se “A reunião B” ou “A u B”) é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. 

Notemos que x é elemento de 𝐴 ∪ 𝐵 se ocorre ao menos uma das condições seguintes: 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵.

Exemplos: 1º) {𝑎, 𝑏 ∪ 𝑐, 𝑑} = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}

 2º) {𝑎, 𝑏 ∪ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}

 3º) {𝑎, 𝑏, 𝑐 ∪ 𝑐, 𝑑, 𝑒} = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}

 4º) {𝑎, 𝑏, 𝑐 ∪ ∅} = {𝑎, 𝑏, 𝑐+ 5º) ∅ ∪ ∅ = ∅}

Propriedades da reunião

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 

1ª) 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 (idempotente) 

2ª) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 (elemento neutro)

3ª) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 (comutativa)

4ª) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (associativa)

Interseção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. 

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵} 

O conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 (lê-se “A inter B”) é formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B) simultaneamente. Se 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, isso significa que 𝑥 pertence a A e também 𝑥 pertence a B. O conectivo e colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas ao mesmo tempo.

1º) {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∩ {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} = {𝑏, 𝑐}

 2º) {𝑎, 𝑏} ∩ {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = {𝑎, 𝑏}

3º) {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∩ {𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑎, 𝑏, 𝑐}

 4º) {𝑎, 𝑏} ∩ {𝑐, 𝑑} =∅

 5º) {𝑎, 𝑏} ∩ ∅ = ∅

 Propriedades da interseção 

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

 

1ª) 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 (idempotente) 

2ª) 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴 (elemento neutro) 

3ª) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (comutativa) 

4ª) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 (associativa) 

Conjuntos disjuntos

Quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos. 

Propriedades

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que interrelacionam a reunião e a interseção de conjuntos: 

ex: 1ª) 𝐴 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 

2ª) 𝐴 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 

3ª) 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶 (distributiva da reunião em relação à interseção)

Diferença de conjuntos 

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. 

𝐴 − 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}

ex: 1º) {𝑎, 𝑏, 𝑐} − {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} = {𝑎} 

2º) {𝑎, 𝑏, 𝑐} − {𝑏, 𝑐} = {𝑎}

3º) {𝑎, 𝑏} − {𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} = {𝑎, 𝑏}

Complementar de B em A

Dados dois conjuntos A e B, tais que 𝐵 ⊂ 𝐴, o conjunto 𝐴 − 𝐵 chama-se complementar de B em relação a A, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Com o símbolo ∁𝐴 𝐵 ou 𝐵 indicamos o complementar de B em relação a A. Notemos que ∁𝐴 𝐵 só é definido para 𝐵 ⊂ 𝐴, e aí temos: 

∁𝐴 𝐵= 𝐴 − 𝐵

ex: 1º) Se 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} e 𝐵 = {𝑐, 𝑑, 𝑒}, então: ∁𝐴 𝐵= {𝑎, 𝑏}

2º) Se 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = 𝐵, então: ∁𝐴 𝐵= ∅ 

3º) Se 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} e 𝐵 = ∅, então:∁𝐴 𝐵= 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = A

Propriedades da complementação

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades:

1ª) ∁𝐴 𝐵 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑒 ∁𝐴 𝐵 ∪ 𝐵 = 𝐴 

2ª) ∁𝐴 𝐴= ∅ 𝑒 ∁𝐴 ∅= 𝐴 

3ª) 𝐶𝐴 (∁𝐴 𝐵) 𝐵 (complementar em relação a A do complementar de B em relação a A) 

4ª) ∁𝐴 (𝐵∩𝐶) = ∁𝐴 𝐵 ∪ ∁𝐴 𝐶 

5ª) ∁𝐴 (𝐵∪𝐶) = ∁𝐴 𝐵 ∩ ∁C A

BONS ESTUDOS, ATÉ O PRÓXIMO POST!!  :)

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