Soma dos termos de uma P.G finita e infinita Finita  Considere uma PG finita ( a 1  ,  a 2 ,  a 3 , ...,  a n  ) de razão  q . Podemos obter a soma  S n  de todos os termos dessa PG considerando os seguintes casos: 1 o  caso : Se  q  =  1, a PG é constante, e como todos os termos são iguais, temos  S n  =  a 1 n . 2 o  caso :  Se  q  5  1, a PG não é constante, assim, temos: S n  =  a 1  +  a 1 q  +  a 1   q²   +  a 1  q ³   +  ...  +  a 1  ( q  elevado a   n  -   1 )  -   I Agora, multiplicamos ambos os membros da equação acima por  q . Então: qS n  =  a 1 q  +  a 1 q²   +  a 1 q ³   +  a 1 q ⁴   +  ...  +  a 1   ( q  elevado a   n ) -  II Fazendo  II -   I,  temos: Infinito Considere uma sequência ( a n  ) cujo termo geral é dado por  a  = 1/2 (elevado a  n ) para  n  ∈  N *. Vamos  determinar os primeiros termos dessa sequência substituindo valores para  n  na expressão do  termo geral. Assim, temos:  Essa sequência é a PG (0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ...) com  a 1  = 1/2 e

    Progressão geométrica é toda sequência de números não nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada de razão (q) da progressão. Representando uma PG pela sequência ( a 1  ,  a 2 ,  a 3 , ...,  a n  – 1 ,  a n  ,  a n  + 1 , ...) e aplicando a definição, temos: Considerando o primeiro termo e o valor da razão, podemos classificar uma PG como crescente, decrescente, oscilante ou constante. Dizemos que uma P.G é crescente quando:  •  o primeiro termo é um número real positivo, e a razão é um número real maior do que 1, isto é,  a 1    >  0 e  q  >  1 ex: (1, 7, 49, 343) tem-se a1 = 1 e q = 7. •  o primeiro termo é um número real negativo, e a razão é um número real entre zero e 1, isto é,  a 1  <  0 e 0 <   q  <  1.   tem-se que Dizemos que uma PG é  decrescente  quando: •  o primeiro termo é um número real positivo, e a razão é um número real entre zero e 1, isto é,  a 1    >  0 e 0 <   q  <  1.   P

  Progressão aritmética e Função afim Considerando o domínio de uma função  f  os números naturais não nulos, a lei que relaciona qualquer  n  ∈  D( f ) a  f ( n ) é  f ( n ) =  cn  +  d  e podemos escrever: •  para  n  =  1  ➡   f (1)  =  1 c  +  d  =  c  +  d  =  a 1 •  para  n  =  2  ➡   f (2)  =  2 c  +  d  =  c  + ( c  +  d ) =  c  +  a 1  =  a 2 •  para  n  =  3  ➡   f (3)  =  3 c  +  d  =  c  + (2 c  +  d ) =  c  +  a 2  =  a 3 Obtemos: f ( n )  =  cn + d  =  a n f ( n  +  1)  =  c(n +  1)  + d  =  a n  + 1 , ou seja,  f (1),  f (2), ...,  f ( n ), ... formam uma PA de razão  c . Calculando a diferença entre  a n  +  1  e  a n  , temos: a n  +  1  _  a n  =  c ( n  + 1) +  d  _  ( cn  +  d ) =  cn  +  c  +  d  _  cn  _  d  =  c . Logo, considerando a sequência ( a 1  ,  a 2 ,  a 3 , ...,  a n  ,  a n  +  1 , ...), a diferença entre cada termo e o anterior é constante e igual a  c , ou seja, toda função afim  f  de  n * em  r  definida por  f ( n )  =  cn  +  d , é uma PA de razã

  Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pela adição do termo anterior a uma constante  r , chamada de  razão  da progressão. Podemos classificar uma P.A de acordo com o valor da razão  r: •  se  r  >  0, a PA é chamada de  crescente ; •  se  r  <  0, a PA é chamada de  decrescente ; •  se  r  =  0, a PA é chamada de  constante . Como a razão de uma progressão aritmética é a constante  r  que  adicionamos a cada termo para obter o termo seguinte, podemos deter miná-la, a partir do segundo termo, calculando a diferença entre cada termo e o anterior. Assim, dada uma PA genérica infinita ( a 1  ,  a 2 ,  a 3 , ...,  a n  ,  a n  + 1 , ...), temos: obs: O mesmo raciocínio vale para a PA genérica finita  ( a 1  ,  a 2 ,  a 3 , ...,  a n  ,  a n  + 1 ). Termo Geral de Uma PA Vamos considerar a representação genérica de uma progressão aritmética infinita, de razão r , dada por: De acordo com essa sequência, temos:  •  a 2  =  a 1